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81
Libro para el maestro
47
MATEMÁTICAS
III
2.
Las circunferencias con centros
O
1
y
O
2
tienen radios
iguales y cada una pasa por el centro de la otra. La
recta
m
es tangente en
T
a la circunferencia con
centro
O
1
y es secante a la circunferencia con centro
en
O
2
. Además, los puntos
O
1
,
O
2
y
P
son colineales.
¿Qué tipo de triángulo es el
PO
1
T
?
¿Cuánto mide el ángulo
TO
1
P
?
¿Cuánto mide
TPO
2
?
Justifica tu respuesta.
3.
Sean
C
1
y
C
2
circunferencias con centros
O
1
y
O
2
, respectivamente, tangentes en
T
.
Traza la recta tangente a la circunferencia
C
1
por
T
y la tangente a
C
2
por
T
.
Toma en cuenta que en las circunferencias tangentes se cumple que la recta determi-
nada por los centros pasa por el punto de tangencia de las circunferencias.
¿Qué tienen en común las rectas tangentes que trazaste?
Justifica tu respuesta.
Ahora sabes que una recta y una circunferencia pueden tener distintas posiciones entre
sí. Además conociste algunas propiedades que permiten resolver diversos problemas.
Para saber más
Sobre la construcción de una recta tangente a una circunferencia y de circunferen-
cias tangentes, consulta:
Ruta 1: Construcción paso a paso
Ruta 2: Ejercicios para practicar la construcción
[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].
O
1
T
P
O
2
m
120º
Posibles procedimientos.
O
1
TP
mide
90°
porque la recta
m
es tangente.
O
1
TO
2
mide
60°
(se obtiene al calcular las
medidas de los ángulos interiores del rombo).
O
2
TP
mide
30°
(es complementario de
O
1
TO
2
) y como el triángulo
O
2
TP
es isósceles,
TPO
2
mide también
30°
.
También puede obtenerse al prolongar la recta
PO
2
hacia
O
1
y observar que esa recta es un
eje de simetría del rombo, por lo que
TO
1
P
mide
60°
. Entonces, en el triángulo
PO
1
T
,
el ángulo en el vértice
P
mide
30°
(por la suma
de los ángulos interiores de un triángulo).
Respuesta.
Son la misma recta. La recta es
perpendicular al radio
O
1
T
por ser tangente a
C
1
.
Pero entonces también es perpendicular al radio
TO
2
ya que los tres puntos,
O
1
,
T
,
O
2
son
colineales. Entonces también es la tangente a
C
2
.
Si lo considera conveniente, comente con los
alumnos que las circunferencias pueden ser
tangentes internas o tangentes externas.
O
1
O
2
T
O
2
O
1
T
Propósito del programa.
Se muestran
ejemplos de figuras semejantes y se destacan
algunas características que permitirán después
deducir cuáles son las condiciones que deben
tener dos figuras para que sean semejantes.
Plantear y resolver problemas que involucren las
distintas posiciones relativas entre rectas y
circunferencias en el plano vistas a lo largo de la
secuencia.
Se transmite por la red satelital Edusat.
Consultar la cartelera para saber horario y días
de transmisión.
60°
30°
Rectángulo