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Libro para el maestro
Posibles errores.
Los alumnos quizá piensen
que al crear bosquejos los puntos se pueden unir
con segmentos de recta. Este es un buen
momento para aclarar esta cuestión: el unir con
segmentos de recta implica que el fenómeno es
lineal por pedazos. Pero como se vio en las
secuencia 29 de Matemáticas II, estos
fenómenos son muy especiales, tienen puntos
claves muy claros donde cambia la pendiente
(cambios de velocidad en muchos casos) y en
este ejemplo los puntos calculados no tienen
ninguna “clave”, son valores elegidos para saber
cómo es la gráfica.
Para explicar mejor la idea, usted puede indicar
a los alumnos que averigüen el valor de
y
cuando
x
=
0.4
. Después, dígales que unan los
puntos de la gráfica con segmentos de recta y
que comparen el resultado que interpretan en la
gráfica con el obtenido al usar la expresión. El
valor real (obtenido con la expresión) estará por
encima del segmento que une a los puntos (
0.3
,
1.008
) y (
0.5
,
1
).
Respuesta.
y
=
x
(2 – 2
x
) (3 – 2
x
)
y
=
x
(2 – 2
x
2
) (3 – 2
x
)
y
= 6
x
– 4
x
2
– 6
x
2
+ 4
x
3
y
= 4
x
3
– 10
x
2
+ 6
x
Respuesta.
Si
x
vale
0.39
,
y
vale
1.056
.
Haga énfasis en que los alumnos comparen este
resultado con el que obtuvieron mediante la
gráfica.
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MATEMÁTICAS
III
Comparen sus respuestas y comenten:
¿Es este fenómeno lineal por pedazos?
A lo que llegamos
La expresión
y
=
x
(2 – 2
x
) (3 – 2
x
)
es conocida como una
cúbica
, pues al desarrollar
los productos se obtiene la expresión
y
= 4
x
3
− 10
x
2
+ 6
x
que contiene un término al
cubo:
x
3
(equis al cubo). La gráfica asociada a una relación cúbica se llama también
gráfica de la cúbica.
IV.
Desarrollen los productos de
y
=
x
(2–2
x
) (3 – 2
x
)
y verifiquen que les quede
y
=4
x
3
− 10
x
2
+6
x
.
V.
Usando esa expresión contesten:
¿Cuál es el valor de
y
si
x
vale
0.39
?
Este valor de
y
, ¿es más grande que el que habían encontrado en la actividad
III
?
Comparen sus respuestas y comenten, ¿cuál es el valor de
x
que hace el volumen de
la caja lo más grande posible?
Lo que aprendimos
Se desea construir una caja de metal, a partir de una lámina cuadrada de
2
m de lado.
Para ello se recortan cuatro cuadrados de lado
x
, uno de cada esquina.
a) De las siguientes expresiones, ¿cuál permite calcular el volumen
y
a partir del valor
de
x
? Márquenla.
i)
y
=
4
x
3
− 10
x
2
+
6
x
ii)
y
=
4
x
3
−8
x
2
+
4
x
iii)
y
=
4
x
2
−8
x
+
4
iv)
y
=
x
3
−4
x
2
+
4
x
b) Observen que el valor de
x
no puede ser negativo, ni mayor que
1
. Después, hagan en
su cuaderno la gráfica de la relación anterior.
c) ¿Cuál es el valor de
x
que maximiza el volumen
y
?
Comparen sus respuestas.
Para saber más
Sobre los cuerpos en aceleración constante, consulten:
¿Dónde están los alpinistas? en su libro de
Ciencias II
, volumen I. México: SEP/ILCE, 2007.
Sobre la ley de Boyle, consulten:
[Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008].
Recuerden que:
Un fenómeno es lineal por pedazos si
su gráfica asociada está formada por
segmentos de recta.
Respuesta.
De todos los valores propuestos, los
alumnos saben que el
0.39
es el que hace más
grande el volumen de la caja, pero no saben si
hay otro mejor. Para contestar eso, los alumnos
pueden ensayar con algunos valores cercanos a
0.39
(por ejemplo:
0.38
,
0.40
,
0.385
o
0.395
)
y con ello darse cuenta de que, si bien el
0.39
no es el máximo, ciertamente es una buena
aproximación y que probando con números
cercanos pueden aproximarse cada vez más
a la solución.
Los primeros cinco dìgitos de la
x
que realmente
alcanza el máximo son
0.39237
, sin embargo,
no es importante estudiar el método para
acercarse cada vez más al máximo, sino hacer
cálculos de números cercanos para lograr una
buena aproximación.
Propósito de la actividad.
Aquí se pone en
práctica todo lo visto en la sesión, los alumnos
requerirán encontrar la expresión, desarrollarla
algebraicamente y graficarla.
Integrar al portafolios.
Esta es una buena
actividad para que valore si los alumnos han
comprendido lo que se estudió en esta
secuencia. Pídales una copia y analice si es nece-
sario revisar nuevamente alguno de los temas.
Respuestas.
a) Para encontrar el volumen hay que multiplicar
la medida del lado del cuadrado por sí misma,
y luego por la altura, es decir,
2
–
2
x
por
2
–
2
x
por
x
. Quedaría:
y
=
x
(
2
–
2
x
) (
2
–
2
x
)
Y al desarrollarse:
y
=
2
x
–
2
x
2
(
2
–
2
x
)
y
=
4
x
–
4
x
2
–
4
x
2
+
4
x
3
y
=
4
x
3
–
8
x
2
+
4
x
b) Es importante que comenten por qué el valor
de
x
no puede ser negativo ni mayor a
1
.
No puede ser negativo porque es la medida
del lado de un cuadrado, y ese cuadrado no
puede medir más de
1
m porque la lámina
mide
2
m por lado.
Por otro lado, para hacer la gráfica recomien-
de a los alumnos que en el eje de las
x
grafiquen el intervalo de
0
a
1
. La elección
del intervalo en
y
pueden hacerla cuando
hayan evaluado algunos de los valores de
x
.
c) El valor exacto es
1
3
=
0.333
…
Entonces, valores como
0.3
o
0.33
son
buenas aproximaciones. Se espera que lleguen
a este número a través de la gráfica.
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