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Libro para el maestro
Sugerencia didáctica.
Antes de empezar a
llenar la tabla, cerciórese de que los estudiantes
seleccionaron la ecuación correcta.
Si fuera necesario, repase la información del
problema:
un número elevado al cuadrado
(
x
2
)
,
que se multiplica por
10
(10
x
2
)
,
al que se le suma tres veces el número que se
pensó
(+ 3
x
)
,
y da como resultado
1
(10
x
2
+ 3
x
= 1)
.
Posibles respuestas.
Para estas preguntas
puede haber distintas respuestas correctas,
ya que pueden ubicar a los números que buscan
entre distintos rangos. Lo importante es que
sepan que los números que buscan están
entre –
1
y
1
2
.
Sugerencia didáctica.
Si hubo alumnos que
lograron encontrar las soluciones pídales que
expliquen en el pizarrón cómo lo hicieron.
Posiblemente probaron con más números en la
tabla. Si ya saben que con
x
=
1
2
da
4
, entonces
pueden probar con un número menor.
Así, podrán llegar a una de las soluciones:
x
= 
1
5
o
0
.
2
La otra tiene que estar entre
0
y –
1
. Si prueban
con –
0
.
5
obtendrán
1
.
23
III
MATEMÁTICAS
Manos a la obra
I.
Completen la siguiente tabla para tratar de resolver la ecuación
10
x
2
+ 3
x
= 1
y
encontrar los posibles números que pensó Luz. En la última columna calculen el valor
que obtienen al evaluar la expresión algebraica del lado izquierdo de la ecuación,
para cada uno de los valores de
x
.
Valor de
x
x
2
10
x
2
3
x
10
x
2
+ 3
x
1
(1)
2
= 1
10 (1) = 10
3 (1) = 3
3
(3)
2
= 9
10 (9) = 90
3 (3) = 9
2
0
0.5
–1
a) ¿Entre qué números enteros creen que se encuentra uno de los números que pen-
só Luz?
. Justifiquen su respuesta.
b) ¿Entre qué números fraccionarios creen que se encuentra uno de los números que
pensó Luz?
. Justifiquen su respuesta.
Comparen sus respuestas y comenten las dificultades que tuvieron para encontrar las
dos soluciones de la ecuación
10
x
2
+ 3
x
= 1
.
II.
Para encontrar los dos posibles números que pensó Luz, resuelvan la ecuación
10
x
2
+
3
x
=1
primero escribiéndola en su
forma general
y luego usando la
fórmu-
la general
. Esto es:
Dada una ecuación en su forma general
ax
2
+
bx
+
c
= 0
, las soluciones se encuen-
tran con la fórmula general:
x
=
b
b
2
− 4
ac
2
a
En esta fórmula
a
y
b
son los coeficientes de los términos de segundo y primer grado
respectivamente, mientras que
c
es el término independiente.
El signo
que antecede al radical
b
2
− 4
ac
indica que una vez obtenido el valor
numérico de
b
2
− 4
ac
, una de las soluciones se obtiene al considerar el signo “
+
” y
la otra el signo “
”. Las dos soluciones de la ecuación
10
x
2
+
3
x
=1
son:
x
1
=
b
+
b
2
− 4
ac
2
a
x
2
=
b
b
2
− 4
ac
2
a
Recuerden que:
Una ecuación
cuadrática puede
tener hasta dos
soluciones.
Sugerencia didáctica.
A lo largo de la sesión
los alumnos emplearán la fórmula general para
resolver distintas ecuaciones. En este momento,
lo que es importante que comprendan es que:
Para poder utilizarla deben escribir la
ecuación en su forma general, así podrán
saber cuál término le corresponde a cada
letra (
a
,
b
o
c
).
Hay que realizar las operaciones señaladas
en la fórmula general de acuerdo a lo que
aprendieron sobre la jerarquía de operacio-
nes: primero la resta
b
2
– 4
ac
, luego se
obtiene su raíz cuadrada, éste resultado se le
resta y se le suma
a
– 
b
y finalmente lo
obtenido se divide entre
2
a
. Anote en el
pizarrón la fórmula general y analicen este
orden en las operaciones.
13
99
(2)
2
= 4 
10 (4) = 40 
3 (2) = 6 
46
(0)
2
= 0 
10 (0) = 0 
3 (0) = 0 
0
(
1
2
)
2
= 
1
4
10 
(
1
4
)
= 
10
4
3 
(
1
2
)
= 
3
2
8
2
= 4
(–1)
2
= 1 
10 (1) = 10 
3 (–1) = -3 
7
Como ya vieron en las secuencias 8 y 9, las
ecuaciones cuadráticas pueden tener dos
soluciones diferentes, una solución doble, o
ninguna solución. Para obtenerlas, en la
fórmula se señala que el término –
b
debe
sumarse y también restarse al resultado de
b
2
– 4
ac
. Es decir, la fórmula podría verse
como dos fórmulas:
x
1
= 
b
+
b
2
+ 4
ac
2
a
x
2
= 
b
b
2
+ 4
ac
2
a