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Libro para el maestro
Posibles procedimientos.
Los alumnos pueden
identificar, por la forma en la que están
coloreados los puntos, que para formar la figura
2
se añadieron
4
puntos verdes, para formar la
figura
3
se añadieron
6
puntos amarillos, para
formar la figura
4
se añadieron
8
puntos
morados, entonces para formar la figura
5
se
debe añadir
10
puntos.
Algo similar se puede hacer si determinan
primero el número de puntos de cada figura
(
2
,
6
,
12
,
20
) y luego obtienen las diferencias
entre los términos consecutivos (
4
,
6
,
8
).
Para encontrar el número de puntos de la figura
10
los alumnos pueden dibujar las figuras
5
,
6
,
7
,
8
,
9
y
10
o pueden continuar el patrón para
encontrar el número de puntos de cada figura
(
30
,
42
,
56
,
72
,
90
,
110
) sin necesidad de
dibujarlas.
Otro procedimiento, es darse cuenta que se
puede obtener el número de puntos de cada
figura al multiplicar el número de renglones por
el número de puntos en cada renglón, así la
figura
1
tiene
1 × 2
puntos, la figura
2
tiene
2 × 3
puntos, la figura
3
tiene
3 × 4
puntos,
etc. De esta forma se puede determinar que la
figura
5
tiene
5 × 6
puntos y la figura
10
tiene
10 × 11
puntos. Con este procedimiento se
puede expresar el número de puntos de la
figura
n
como
n
(
n
+
1
).
Sugerencia didáctica.
Pregunte a los alumnos
por qué se llaman números rectangulares.
No anticipe a los alumnos ninguno de los
procedimientos, Observe los que ellos realicen,
tanto los correctos como los incorrectos, al final
de la actividad pida a algunos alumnos que
expliquen lo que hicieron. Es probable que los
alumnos no puedan encontrar la respuesta al
inciso c). Comenten entre todos si es posible
expresar los puntos de la figura n con una regla
de la forma
an
+
b
.
107
III
MATEMÁTICAS
Consideremos lo siguiente
La siguiente sucesión de figuras corresponde a los llamados
números rectangulares
.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
El
n
-ésimo número rectangular
es el número de puntos que tiene el
n-
ésimo
rectán-
gulo de esta sucesión.
a) ¿Cuántos puntos tendrá la figura
5
?
b) ¿Cuántos puntos tendrá la figura
10
?
c) ¿Cuántos puntos tendrá la figura
n
?
Manos a la obra
I.
Observen la sucesión de figuras y completen la tabla.
Número de la figura
123456
n
Número de renglones que tiene la figura
12
Número de puntos en cada renglón de la figura
23
Total de puntos de la figura
(número rectangular)
2
6
12
20
a) Escriban una regla para obtener el total de puntos de la figura de la sucesión que
está en el lugar
n
b) ¿Cuántos puntos tiene la figura
100
?
c) ¿Cuál es el número de la figura que tiene
420
puntos?
Comparen sus soluciones y comenten:
¿Es cuadrática o lineal la expresión algebraica que corresponde al total de puntos de
la figura
n
? Justifiquen su respuesta.
Propósito de la actividad.
Que los alumnos
identifiquen que el número de puntos de cada
figura se puede expresar al multiplicar el número
de renglones por el número de puntos en cada
renglón.
Posibles dificultades.
Si tienen dificultades
para completar la última columna usted puede
ayudarlos haciéndoles preguntas para que
descubran la regularidad en las columnas
anteriores (el número de renglones es el mismo
que el número de figura, el número de puntos es
el número de renglones más
1
, y el total de
puntos se obtiene al multiplicar los dos datos
anteriores).
Respuestas.
a)
n
(
n
+
1
)
b)
100
(
101
) =
10
100
c) Es la figura
20
(tiene
20 × 21
puntos).
Propósito del Interactivo.
Que el alumno
descubra que los primeros tres términos de una
sucesión cuadrática determinan completamente
la fórmula general de la sucesión y aprenda a
calcularla usando el método de diferencias.
Posibles dificultades.
Algunos alumnos podrán
pensar que la expresión algebraica es lineal.
Pregunte a los alumnos cuál es el resultado de
desarrollar la expresión
n
(
n
+
1
). El resultado es
n
2
+
n
, y entonces la expresión es cuadrática.
3
4
5
6
n
4
5
6
7
n
+
1
30 42
n
(
n
+
1)