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191
Libro para el maestro
175
MATEMÁTICAS
III
3.
Encuentra los números que satisfacen:
La suma de un número más uno elevada al
cuadrado es igual al doble del número elevado al cuadrado
.
¿Cuántos números satisfacen la siguiente propiedad: la suma de un número más
1
elevada al cuadrado es igual al doble del número elevado al cuadrado?
a) ¿Qué número o números satisfacen la condición anterior?
b) Una de las siguientes ecuaciones modela el problema anterior:
1.
x
+1
2
=2
x
2
2.
(
x
+1)
2
= (2
x
)
2
Desarrolla ambas y encuentra las soluciones de ambas ecuaciones.
Soluciones de la ecuación 1
Soluciones de la ecuación 2
x
1
=
x
1
=
x
2
=
x
2
=
c) Se sabe que uno de los números que satisfacen la propiedad es
–
1
3
. Verifica con
esta información las respuestas dadas anteriormente.
Comparen sus resultados y comenten cómo los obtuvieron.
4.
¿Cuántas soluciones tiene la expresión
(
x
+ 5)
2
+3=(
x
+ 1)
2
+4
3
?
Simplifica la ecuación y resuélvela para comprobar tu respuesta.
Para conocer más ejemplos de problemas modelados con ecuaciones, pueden ver el pro-
grama
Planteamiento de problemas diversos
.
Para saber más
Sobre resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado, consulta:
Ruta: Aplicaciones
Álgebra
Ecuaciones y sistemas
Resolución de sistemas
de ecuaciones
[Fecha de consulta: 8 de octubre de 2008].
Sobre resolución de ecuaciones de segundo grado, consulta:
Ruta: Aplicaciones
Álgebra
Ecuaciones y sistemas
Ecuación de segundo
grado
[Fecha de consulta: 8 de octubre de 2008].
Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.
Recuerda que:
(
x
+
a
)
2
=(
x
+
a
)(
x
+
a
)=
x
2
+2
ax
+
a
2
Propósito de la actividad.
Se pretende que los
alumnos traduzcan un enunciado a una ecuación
y que la resuelvan para dar respuesta al
problema planteado en dicho enunciado.
Entonces, quizá la pregunta del inciso a) sea
difícil que la contesten antes de resolver el resto,
aunque también pueden probar con algunos
números por ensayo y error para ver si cumplen
la condición.
Si al responder la pregunta del inciso b) hubiera
estudiantes que eligen erróneamente la ecuación
1, permítales seguir contestando. Al resolver las
dos ecuaciones en el inciso c) podrán darse
cuenta de que el 1 es una solución en ambas, sin
embargo, en el inciso d) se les plantea que una
de las soluciones es
–
1
3
, y dicho número no es
solución en la ecuación 1, así que la ecuación
que modela correctamente el problema, es la
2
.
Respuestas.
Ecuación 1
x
+ 1
2
= 2
x
2
En su forma general quedaría:
–2
x
2
+
x
+ 1 = 0
x
=
−1 1
2
– 4(–2)(1)
2(–2)
x
=
−1 1 + 8
–4
x
1
=
−1 + 3
–4
=
2
–4
= –
1
2
x
2
=
−1 – 3
–4
=
–4
–4
= 1
Ecuación 2
(
x
+ 1)
2
= (2
x
)
2
x
2
+ 2
x
+ 1 = 4
x
2
2
x
+ 1 = 3
x
2
En su forma general quedaría:
0 = 3
x
2
– 2
x
– 1
x
=
2 –2
2
– 4(3)(–1)
2(3)
x
=
2 4 + 12
6
x
1
=
2 + 4
6
=
6
6
= 1
x
2
=
2 – 4
6
=
–2
6
= –
1
3
Respuesta.
Tiene una solución.
x
2
+ 10
x
+ 25 + 3 =
x
2
+ 2
x
+ 1 + 64
10
x
– 2
x
= 65 – 28
8
x
= 37
x
= 4.625
Propósito del programa 49.
Mostrar la forma
de plantear problemas a partir de un enunciado
y solucionarlos de formas diversas.
Se transmite por la red satelital Edusat.
Consultar la cartelera para saber horario y días
de transmisión.
–
1
2
1
1
–
1
3