Cuaderno de actividades de aprendizaje /
Matemáticas IV
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Expresiones con las funciones seno y coseno
Las
funciones trigonométricas permitieron la real incursión del hombre en la naturaleza de los sonidos y lograron que su
conocimiento fuera
utilizado en el diseño de aparatos como el teléfono, el fonógrafo, la radio, entre otros. Inicialmente el estudio matemático de
los sonidos no se realizó con la aplicación de las funciones trigonométricas.
Los
pitagóricos descubrieron que la longitud de dos cuerdas igualmente tensionadas y pulsadas levemente, cuyos sonidos
arm
onizaban, están relacionadas por una simple razón aritmética. La menor nota es originada por las cuerdas de mayo
r
long
itud. Diseñaron escalas musicales, cuyas notas fueron medidas cuantitativamente por las longitudes de las cuerdas
vibrantes
porque poseían valores numéricos precisos. Fueron los matemáticos del siglo XVII quienes iniciaron otras
investigaciones e hicieron importantes descubrimientos.
Merssene, por ejemplo, estudió el efecto de cambiar la tensión y la masa de la cuerda y encontró que un aumento en la masa y
una disminución en la tensión producen notas bajas en una cuerda de longitud dada. Este descubrimiento fue muy importante
para instrumentos con cuerdas, como el violín y el piano.
Galileo y Hooke demostraron experimentalmente que cada sonido musical está caracterizado por un número determinado de
vibraciones del aire por segundo.
Grandes matemáticos del siglo XVII estudiaron cuerdas vibrantes, como las cuerdas de un violín, y encontraron que las funciones
trigonométricas eran adecuadas para representar estas vibraciones. El análisis matemático de las características del sonido se
continuó y se llegó a la conclusión de que las Matemáticas eran una herramienta poderosa para el estudio de los sonidos. A pesar
de que estos sonidos provengan de diferentes instrumentos y de distintos medios, son descritos por las mismas leyes.
Todos los sonidos musicales son periódicos. Esto es, un sonido musical es un movimiento de moléculas de aire que es repetido
muchas veces en un segundo. Estos movimientos periódicos pueden describirse usando las funciones seno o coseno.
Recordemos que la función seno tiene como periodo
2
π
, esto signifca que la Función repite su comportamiento en cada
intervalo de longitud
2
π
a lo largo del eje horizontal (tomamos
t
como variable independiente).
Si
t
representa el tiempo en segundos, la Frecuencia con la cual se repite la gráfca es 1 en
2
π
segundos.
La función
y
=
sin 2
t
tiene las siguientes características: repite su comportamiento dos veces en cada intervalo de longitud
2
π
o una vez en uno de longitud
π
. La frecuencia es 2 en cada
2
π
segundos o 1 en
π
segundos.
Si
y
=
sin((256)(2
π
t
))
, y tiene un periodo de
1
256
y una frecuencia de 256 por segundo. Esta función representa un sonido
puro o simple que se repite 256 veces en un segundo. Tal sonido es dado por un diapasón, que está diseñado para vibrar a
esta frecuencia.
Los valores de y representan la variación de los desplazamientos de una molécula de aire desde su reposo hasta su posición
no perturbada.
Pero
los sonidos musicales no son simples. Cada sonido musical es una combinación de sonidos simples. Joseph
Fourier
estableció que todo sonido musical puede ser representado como la suma de funciones trigonométricas simples.
La forma sería:
y
=
a
1
senb
1
x
+
a
2
senb
2
x
+....
+
a
n
senb
n
x
Busca en Internet los siguientes conceptos clave:
a. Funciones trigonométricas
seno
b. Funciones trigonométricas
coseno
c. Funciones circulares
seno
d. Funciones circulares
coseno
e. Formas senoidales
Quiero aprender más
F. Representación gráfca de Funciones trigonométricas
g. Características de las funciones periódicas de amplitud
h. Características de las funciones periódicas de frecuencia
i. Características de las funciones periódicas de periodo
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