229
"acomodarlas" depende de cuál sea el valor
que debe hallarse y cuáles ya se conozcan. En
este ejemplo, si quiere hallarse la constante de
proporcionalidad inversa la expresión sería
xy
=
k
.
Si ya se conocen la base y la constante, entonces
y
=
W
R
.
Y si hay que averiguar cuál es la base
conociendo la constante y la altura
y
=
W
R
.
Pero los alumnos no tienen que aprenderse
una por una, el objetivo es que conociendo la
expresión algebraica de la proporcionalidad
inversa puedan hallar cualquier valor. Para
lograrlo puede ser útil analizar la expresión y
utilizarla varias veces en diferentes situaciones,
dándole distintos valores a una de las variables
y manteniendo la constante. Después hacer
lo mismo con la otra variable y analizar los
cambios.
Sugerencia didáctica.
Comparen esta
expresión (
y
=
k
) con
y
=
kx
, que es la que
corresponde a las relaciones de proporcionalidad
directa. Puede preguntar a los alumnos en qué
se parecen y en qué se diferencian. Por ejemplo,
qué papel juega la constante en cada uno de
los casos (en la proporcionalidad directa la
constante es el número por el cual se multiplica
el dato de la primera columna para obtener
el de la segunda; en cambio, la constante de
proporcionalidad inversa es el número que
resulta de multiplicar los datos de un mismo
renglón).
Integrar al portafolios.
Pida una copia de las
respuestas de los alumnos al número
1
.
Respuestas.
La constante de proporcionalidad
inversa es el número de litros que hay que
almacenar,
2 400
. La expresión sería
y
=
W R P
P
.
Posibles procedimientos.
Los alumnos podrían
fijarse en las relaciones que hay entre los datos:
Campesinos
Días
2
3
6
6
Si el número de campesinos aumenta de
2
a
6
(o sea, por
3
), el número de días será una tercera
parte del primero. Si el número de días en los que
se termina el trabajo aumenta el doble (de
3
a
6
),
el número de campesinos que trabajarían sería
la mitad.
O bien, hallar la constante de proporcionalidad
inversa, que corresponde a
6
días de trabajo
total (ya saben que si se multiplican los datos de
un renglón se obtiene esa constante).
Respuestas.
a)
Un día.
b)
Un campesino.
Propósito de la sesión.
Asociar la expresión
algebraica correspondiente a problemas de
relaciones inversamente proporcionales y
construir la gráfica correspondiente.
Organización del grupo.
Todas las actividades
son en parejas, salvo la última, que es individual.
Propósito de la actividad.
Ahora la
proporcionalidad inversa se aborda en la
geometría, dejando como constante el área y
variando la longitud de los lados.
Respuestas.
a)
4
cm porque
6
×
2
=
24
.
b)
2
cm porque 1
2
×
2
=
24
.
c)
3
cm porque
8
×
3
=
24
.
d)
La base y la altura del rectángulo.
e)
24
porque es el número que se obtiene
siempre que se multiplica la base por la
altura.
f)
Si la base es
x
y la altura
y
,
entonces
xy
=
24
o
y
=
W
R
.
Posibles dificultades.
Para muchos alumnos
las expresiones
xy
=
24
y
y
=
W
R
son dos cosas independientes que se aprenden
por separado. Es importante hacerles ver
que están relacionadas y que la forma de
I
MATEMÁTICAS
229
Lo que aprendimos
1.
En tu cuaderno encuentra la constante de proporcionalidad inversa y la expresión
algebraica de los problemas de la sesión
1
de esta secuencia.
2.
Si
2
campesinos tardan
3
días en sembrar un terreno:
a) ¿Cuántos días tardarían en sembrar el mismo terreno
6
campesinos?
b) Si el terreno se sembró en
6
días, ¿cuántos campesinos lo sembraron?
LA HIPÉRBOLA
Para empezar
En la secuencia
13
de tu libro de
Matemáticas I, volumen I
y en primaria estudiaste el
área y el perímetro de diferentes figuras geométricas. En esta sesión resolverás más pro-
blemas relacionados con el área de los rectángulos.
Consideremos lo siguiente
Se sabe que un rectángulo tiene un área de
24
cm
2
y que su base mide 6 cm de longitud.
a) ¿Cuánto mide su altura?
Supongan que el área del rectángulo se mantiene constante, es decir, que el área del
rectángulo siempre es de
24
cm
2
. Contesten las siguientes preguntas:
b) Si la base del rectángulo midiera
12
cm de longitud, ¿cuántos centímetros mediría
su
altura?
c) Si la base del rectángulo midiera
8
cm de longitud, ¿cuántos centímetros mediría su
altura?
d) ¿Cuáles son las cantidades que son inversamente proporcionales en este problema?
e) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa?
f) Encuentren la expresión algebraica asociada a este problema.
A lo que llegamos
La expresión algebraica asociada a este problema de
proporcionalidad inversa
es:
xy
=
420
En este caso la letra
x
representa el tiempo que se emplea para ir de la Ciudad de Méxi-
co a la ciudad de Veracruz, la letra
y
representa la velocidad promedio y
420
correspon-
de a la distancia que hay entre la Ciudad de México y la ciudad de Veracruz.
La expresión algebraica que permite obtener
y
es:
y
=
420
x
SESIÓN 3
x
x
x
y
x
x
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