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B
loque
VII
4. Encuentra la ecuación de la elipse en sus formas ordinaria y general, además de todos sus
elementos, dados C(4, 2), eje mayor = 14, eje menor = 10 y eje focal paralelo al eje y.
Según las condiciones geométricas dadas, tenemos una ecuación de la forma
ሺ௫ିሻ
మ
మ
#
ሺ௬ିሻ
మ
మ
= 1
donde
h = 4
y
k = 2
Dada la longitud del lado mayor
2a = 14
despejamos
a:
a
=
ଵସ
ଶ
a = 7
Dada la longitud del lado menor
2b = 10
despejamos
b:
b
=
ଵ
ଶ
b = 5
Como
c
2
=
a
2
–
b
2
c
2
= (7)
2
–
(5)
2
=
49
–
25
c
2
= 24
c
=
ξʹͶ
c
= 4.9
Al sustituir estos valores en la ecuación en forma ordinaria:
ሺ௫#ି#ସሻ
మ
ሺሻ
మ
#
ሺ௬#ି#ଶሻ
మ
ሺହሻ
మ
= 1
ሺ௫ିସሻ
మ
ସଽ
#
ሺ௬#ି#ଶሻ
మ
ଶହ
= 1
Desarrollamos para la ecuación en forma general:
Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mcm (49 x 25 = 1225):
ଵଶଶହሺ௫ିସሻ
మ
ସଽ
#
ଵଶଶହሺ௬#ି#ଶሻ
మ
ଶହ
= 1(1225)
Y dividiendo entre los denominadores:
25(
x
–
4)
2
+ 49(
y
–
2)
2
= 1225
Desarrollamos los binomios y multiplicamos:
25(
x
2
–
8
x
+ 16) + 49(
y
2
–
4
y
+ 4) = 1225
25
x
2
–
200
x
+ 400 + 49
y
2
–
196
y
+ 196
–
1225 = 0
25
x
2
+ 49
y
2
–
200
x
–
196
y
–
629 = 0
Las coordenadas de los vértices del eje mayor:
V
(
h
+
a
,
k
) y
9¶
(
h
–
a,
k
)
V
(4 + 7, 2) y
9¶
(4
–
7, 2)
V
(11, 2) y
9¶
(-3, 2)
Las coordenadas de los vértices del eje menor:
B(h
,
k
+
b
) y
%¶
(
h,
k
–
b
)
B
(4, 2 + 5) y
%¶
(4, 2
–
5)
B
(4, 7) y
%¶
(4, -3)
Las coordenadas de los focos:
F
(
h
+
c
, k
)
y
)¶
(
h
–
c
,
k
)
F
(4 + 4.9, -2) y
F
¶
(4
–
4.9,
–
2)
F(8.9
, 2) y F’(
-0.9, 2)
La longitud del lado recto
LR:
LR
=
ଶ
మ
=
ଶሺହሻ
మ
=
ହ
LR
= 7.1
La longitud del eje mayor:
99Ԣ
തതതതത
= 2a = 2(7)
99Ԣ
തതതതത
= 14
La longitud del lado menor:
%%Ԣ
തതതതത
= 2b = 2(5)
%%Ԣ
തതതതത
= 10
Apéndice
336