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5.
Encuentra la ecuación de la elipse en sus formas ordinaria y general, además de todos sus
elementos, dados V(8, 1), V’(2, 1), F(3, 1) y F’(7, 1).
Según las condiciones geométricas dadas, tenemos una ecuación de la forma
ሺ௫ିሻ
మ
మ
#
ሺ௬ିሻ
మ
మ
= 1
Como la longitud del eje mayor
99Ԣ
തതതതത
= 2
a
y la diferencia entre las abscisas de sus vértices es
8
–
2 = 6, igualamos
2
a
= 6 y despejamos
a
:
a
= =
ଶ
ܽൌ͵
Como la longitud del eje focal
&&Ԣ
തതതത
= 2
c
y la diferencia entre las ordenadas de sus focos es
7
–
3 = 4, igualamos
2
c
= 4 y despejamos c:
c
= =
ସ
ଶ
ܿൌʹ
Como
c
2
=
a
2
–
b
2
b
2
=
a
2
–
c
2
b
2
= (3)
2
–
(2)
2
=
9
–
4 = 5
b
=
ξͷ
b
= 2.24
El centro es el punto medio de los vértices, por lo que para calcular sus coordenadas:
Pm
=
ቀ
௫
భ
ା#௫
మ
ଶ
ǡ
௬
భ
ା#௬
మ
ଶ
ቁ
=
ቀ
#଼#ା#ଶ
ଶ
ǡ
ଵ#ାଵ
ଶ
ቁ
=
ቀ
ଵ
ଶ
ǡ
ଶ
ଶ
ቁ
= (5, 1)
Coordenadas del centro
C
(h, k)
C
(5, 1)
Al sustituir estos valores en la ecuación en forma ordinaria:
ሺ௫#ି#ହሻ
మ
ሺଷሻ
మ
#
ሺ௬#ି#ଵሻ
మ
ሺଶǤଶସሻ
మ
= 1
ሺ௫#ି#ହሻ
మ
ଽ
#
ሺ௬##ି#ଵሻ
మ
ହ
= 1
Desarrollamos para la ecuación en forma general:
Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mcm (9 x 5 = 45):
ସହሺ௫#ି#ହሻ
మ
ଽ
#
ସହሺ௬##ି#ଵሻ
మ
ହ
= 1(45)
Y dividiendo entre los denominadores:
5(
x
–
5)
2
+ 9(
y
–
1)
2
= 45
Desarrollando los binomios y multiplicando:
5(
x
2
–
10
x
+ 25) + 9(
y
2
–
2
y
+ 1) = 45
5
x
2
–
50
x
+ 125 + 9
y
2
–
18
y
+ 9
–
45 = 0
5
x
2
+ 9
y
2
–
50x
–
18
y
+ 89 = 0
Las coordenadas de los vértices del eje menor:
B
(
h
,
k
+
b
) y
%¶
(
h
,
k
–
b
)
B
(5, 1 + 2.24) y
%¶
(5, 1
–
2.24)
B
(5, 3.24) y
%¶
(5, -1.24)
La longitud del lado recto
LR:
LR
=
ଶ
మ
=
ଶሺଶǤଶସሻ
మ
ଷ
=
ଵ
ଷ
LR
= 3.3
La longitud del eje mayor:
99Ԣ
തതതതത
= 2
a
= 2(3)
99Ԣ
തതതതത
= 6
La longitud del lado menor:
%%Ԣ
തതതതത
= 2
b
= 2(2.24)
%%Ԣ
തതതതത
= 4.48
Apéndice
337