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Libro para el maestro
Respuestas.
Hay dos posibles respuestas: la
pareja
23
y
24
, y la pareja
–23
y
–24
.
Para encontrar esos números, los alumnos
pueden seguir varios procedimientos, como el
ensayo y error. Una manera más rápida es
obtener la raíz cuadrada de
552
; como el
número que se obtiene está entre
23
y
24
,
ésos son los dos números consecutivos
que se buscan.
Propósito de la actividad.
El propósito es que
los alumnos se vayan familiarizando con la
traducción de problemas a expresiones
algebraicas, en este caso, de ecuaciones de
segundo grado.
Posibles dificultades.
Algunos alumnos
podrían cometer errores como los siguientes:
Multiplicar un número por sí mismo
(olvidando que deben ser números consecuti-
vos), que es el caso que se presenta en la
primera ecuación.
Primero elevar al cuadrado un número y luego
sumarle
1
(porque son consecutivos), que es
el caso que se presenta en la última ecuación.
Si sus alumnos cometen alguno de estos errores
u otros, revisen juntos el enunciado haciendo
énfasis en que son dos números consecutivos
cuyo producto es
552
. Si se representa con
x
al
número menor, el mayor tiene que ser
x
+ 1
,
entonces la expresión correcta es
x
(
x
+ 1) = 552
.
Propósito de la actividad.
Es posible que los
alumnos en el primer paso descubran que la
pareja de números negativos que se busca tiene
que ser
–24
y
–23
porque
552
se encuentra
entre
506
y
600
. Sin embargo, en la tabla hay
más renglones por si algunos alumnos no lo
logran en el primer paso.
Posibles dificultades.
Aunque los alumnos ya
han sumado y restado números enteros desde el
primer grado de secundaria, es probable que
algunos tengan dificultades al tratar de sumarle
1
a la expresión
x
+ 1
cuando
x
es un número
negativo. Recuérdeles que si
x
= –23
, entonces
x
+ 1 = –22
(y no
–24
).
Sugerencia didáctica.
Es posible que algunos
alumnos intenten resolver el problema utilizando
la ecuación que seleccionaron en el inciso a); sin
embargo, puede resultarles difícil porque todavía
no han aprendido a hacerlo. Si logran plantear
x
2
+
x
= 552
, sugiérales que la resuelvan por
ensayo y error probando con varias parejas de
números. Podrán justificar su respuesta llenando
la tabla del inciso b). Esta ecuación puede
resolverse igualando a cero y factorizando, como
se muestra enseguida. Los alumnos estudiarán
ese método en la secuencia 9, por lo que ahora
no es conveniente que se explique.
x
(
x
+ 1) = 552
x
2
+
x
= 552
x
2
+
x
– 552 = 0
(
x
+ 24) (
x
– 23) = 0
x
1
= –24
x
2
= 23
La ecuación tiene dos soluciones:
x
puede valer
–24
(su consecutivo sería
–23
), y también
puede valer
23
(su consecutivo sería
24
).
Ambas soluciones son pertinentes para resolver
el problema.
91
MATEMÁTICAS
III
II.
El producto de dos números enteros consecutivos es
552
. ¿Cuáles son esos números?
y
Comparen sus soluciones y verifíquenlas. Comenten:
a) Para resolver este tipo de problemas es necesario, frecuentemente, encontrar la
ecuación primero la ecuación correspondiente. Si se representa con la letra
x
el
número menor de los dos, ¿cuál de las siguientes ecuaciones corresponde al pro-
blema anterior?
(
x
) (
x
) = 552
(
x
) (552) = y
x
(
x
+ 1) = 552
(
x
) (
x
) + 1 = 552
x
2
+ 1 = 552
b) Hay una pareja de números enteros negativos consecutivos cuyo producto es igual
a
552
. Completen la siguiente tabla para encontrarla.
xx
+ 1
x
(
x
+ 1)
–23
–22
(–23) (–22) =
–25
c) ¿Cuáles son los números enteros negativos consecutivos que multiplicados dan
552
?
y
A lo que llegamos
Una
ecuación cuadrática
es una ecuación en la cual hay un término que tiene la incógni-
ta elevada al cuadrado. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones cuadráticas:
2
x
2
= 18
x
2
+ 3
x
– 2 = 0
x
(
x
+ 3) = –9
Término cuadrático
Término cuadrático
Producto que da un término cuadrático
Las ecuaciones cuadráticas pueden tener
dos soluciones
. Por ejemplo:
2
x
2
= 18
, tiene
dos soluciones:
+3
y
–3
, porque al sustituir estos valores en la ecuación y efectuar las
operaciones se obtiene
18
.
Ecuación:
2
x
2
= 18
Para
x
= +3:
2 (+3)
2
= 2 (+9) = 18
Para
x
= -3:
2 (–3)
2
= 2 (+9) = 18
Recuerden que:
(–23) + 1 = –22
(–25) + 1 = –24
Propósitos de la secuencia
Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones
y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
El número secreto
Descubrir que una ecuación de segundo grado puede tener
hasta dos soluciones.
Programa 13
Aula de medios
Ecuaciones con más de
una solución I
(Calculadora)
2
Cubos, cuadrados y aristas
Conocer y analizar diversos procedimientos para resolver
ecuaciones no lineales.
3
Menú de problemas
Resolver e inventar problemas que puedan modelarse con
ecuaciones de segundo y tercer grado.
Programa 14
Interactivo
506
–24 (–25) (–24) = 600
–24
–23