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Libro para el maestro
Sugerencia didáctica.
A los alumnos debe
quedarles claro cuándo es necesario igualar a
cero una ecuación. Por ejemplo, la del inciso a)
ya está igualada a cero, en cambio la del inciso
c) no lo está. Comente esto con ellos antes de
empezar a resolver este apartado y aclare dudas
si fuera necesario.
Posibles dificultades.
En las ecuaciones a)
y b) las dos soluciones son el mismo número.
Esto puede resultar confuso para algunos
alumnos, por lo que es útil recordarles que, para
que una multiplicación sea igual a cero, uno o
ambos factores deben ser cero. Entonces,
en
(
x
– 5) (
x
– 5)
para que el primer factor sea
igual a cero,
x
debe valer
5
; y para que el
segundo factor sea igual a cero,
x
también debe
valer
5
. Por eso las dos soluciones son iguales.
Por otro lado, como puede verse en este libro, la
igualación a cero de la ecuación b) está “al
revés”, en el sentido de que el cero se encuentra
del lado izquierdo del signo igual. Los alumnos
deben saber que también es correcto plantear
ecuaciones así, por lo que tienen que familiari-
zarse con esta forma de escritura. Explíqueles
que una ecuación supone una igualdad: lo que
está del lado izquierdo debe ser igual a lo que
está del lado derecho, no importa de qué lado
esté el cero.
La ecuación b) puede plantear otra dificultad. Es
posible que los alumnos la igualen a cero de la
siguiente forma:
12
z
– 36 =
z
2
12
z
– 36 –
z
2
=
z
2
–
z
2
12
z
– 36 –
z
2
= 0
Entonces será necesario explicar a los alumnos
que, aunque es correcto lo que hicieron, no
puede resolverse así; hay que cambiar todos los
signos a la ecuación, con lo que se tendría
–12
z
+ 36 +
z
2
. Si ese paso resulta confuso
para los alumnos, puede ponerles un ejemplo
que les resulte familiar, como:
–4 + 6 – 2 = 0
que también puede escribirse:
0 = 4 – 6 + 2
Respuestas.
a)
x
2
– 10
x
+ 25 = 0
(
x
– 5) (
x
– 5) = 0
x
1
= 5,
x
2
= 5
b)
12
z
– 36 =
z
2
0 =
z
2
– 12
z
+ 36
0 = (
z
– 6) (
z
– 6)
z
1
= 6,
z
2
= 6
c)
y
2
+ 7
y
= 18
y
2
+ 7
y
– 18 = 0
(
y
+ 9) (
y
– 2) = 0
y
1
= –9,
y
2
= +2
107
MATEMÁTICAS
III
III.
Resuelve las siguientes ecuaciones. Cuando sea necesario, iguala a cero y factoriza.
a)
x
2
+ 10
x
+ 21 = 0
b)
z
2
= –6
z
– 9
c)
y
2
– 6 = –
y
Lo que aprendimos
1.
Resuelve las siguientes ecuaciones factorizando. Cuando sea conveniente, transforma
la ecuación de manera que esté igualada a cero.
a)
x
2
– 10
x
+ 25 = 0
b)
12
z
– 36 =
z
2
c)
y
2
+ 7
y
= 18
2.
Resuelve el siguiente problema mediante una ecuación.
¿Qué número elevado al cuadrado es igual a tres veces el mismo número?
Ecuación:
El número es:
o
A lo que llegamos
Una
ecuación cuadrática factorizada e igualada a cero
se resuelve al encontrar los núme-
ros que hacen valer cero a los factores. Por ejemplo, la ecuación cuadrática factorizada:
(
x
– 7) (
x
+ 11) = 0
se soluciona al encontrar los valores de
x
que hacen valer cero a los factores, es decir:
x
– 7 = 0
y
x
+ 11 = 0
de donde se obtiene:
x
1
= 7
y
x
2
= –11
Entonces
7
y
–11
son soluciones porque al sustituirlos en la ecuación y efectuar las
operaciones, se obtiene
0
.
Sustituyendo
7
:
(7 – 7) (7 + 11) = (0) (18) = 0
Sustituyendo
–11
:
(–11 – 7) (– 11 + 11) = (–18) (0) = 0
Respuestas.
a)
(
x
+ 7) (
x
+ 3) = 0
x
1
= –7
x
2
= –3
b) Igualando a
0
quedaría:
z
2
+ 6
z
+ 9 = 0
(
z
+ 3) (
z
+ 3) = 0
z
1
= –3
z
2
= –3
c) Igualando a
0
quedaría:
y
2
+
y
– 6 = 0
(
y
– 3) (
y
+ 2) = 0
y
1
= 3
y
2
= –2
Propósito del interactivo.
Que los alumnos
busquen numéricamente mediante la explora-
ción del interactivo la factorización de
ecuaciones de segundo grado.
Sugerencia didáctica.
Dé tiempo a los alumnos
para resolver este problema. Si logran plantear
la ecuación pero no pueden resolverla,
sugiérales igualarla a cero. Una vez hecho esto
podrán factorizarla y sabrán que para que la
multiplicación sea igual a cero, uno o ambos
factores deben ser cero; por lo tanto,
x
puede
ser igual a
3
o a
0
.
Una vez que obtengan los valores de
x
pídales
que los verifiquen en la ecuación original
x
2
= 3
x
, así podrán darse cuenta de si
cometieron algún error.
x
2
= 3
x
x
2
– 3
x
= 0
x
(
x
– 3) = 0
x
1
= 0,
x
2
= 3
0
3