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Libro para el maestro
113
MATEMÁTICAS
III
a) ¿Para cuáles expresiones generales la constante en las diferencias es
6
?
b) ¿Qué constante apareció en los casos donde las expresiones generales son −
2
n
2
así como −
2
n
2
+ 4?
III.
Encuentren las diferencias de cada una de las siguientes sucesiones numéricas.
4,
16,
36, 64, …
Nivel 1
12
Nivel 2
2,
14,
34, 62, …
Nivel 1
12
Nivel 2
5,
17,
37, 65, …
Nivel 1
12
Nivel 2
Completen la tabla siguiente.
Sucesión
Constante
de las diferencias
(diferente de cero)
Nivel donde
aparece
Expresión general
del enésimo término
4, 16, 36, 64, …
4
n
2
2, 14, 34, 62, …
5, 17, 37, 65, …
Comparen sus respuestas y compartan los procedimientos que usaron para encontrar
las expresiones generales.
A lo que llegamos
Al obtener las diferencias de una sucesión numérica, en general sucede que:
• Si en el nivel 2 de las diferencias aparece una constante diferente de cero,
la expresión
general es cuadrática
.
• Cuando la expresión general de la secuencia es cuadrática, la constante que aparece en el
nivel 2 de las diferencias
es el doble del coeficiente del término cuadrático de la expresión
.
A partir de la información anterior, contesten:
a) ¿Qué valor tendrá la constante de las diferencias de nivel 2 cuando la expresión ge-
neral del término enésimo es
3
n
2
?
b) ¿Qué valor tendrá la constante de las diferencias de nivel 2 cuando la expresión ge-
neral del término enésimo es
1.5
n
2
+
2
?
Posibles dificultades.
Si los alumnos no logran
encontrar las expresiones generales usted
puede darles varias pistas: escriba en el pizarrón
la sucesión de los números cuadrados (
1
,
4
,
9
,
16
, …)
y pregunte a los alumnos cuál es la
relación de estos números con los de la primera
sucesión (cada uno de los cuadrados se
multiplica por
4
para obtenerlos).
Para las siguientes sucesiones puede preguntar-
les cómo se obtiene cada término de estas
sucesiones a partir de los términos de la
primera sucesión: si a los términos de la primera
sucesión les restan
2
obtienen los términos
de la segunda sucesión, pero si les aumentan
1
encuentran la tercera sucesión. De esta manera
pueden obtener el término independiente que
debe acompañar al término cuadrático
4
n
2
.
Sugerencia didáctica.
En caso de que los
alumnos no se pongan de acuerdo en cuáles son
las expresiones correctas, puede pedirles que
evalúen esas expresiones para verificar sus
respuestas.
Es importante que los alumnos identifiquen en
este momento que la constante del nivel
2
de
las diferencias es el doble del coeficiente del
término cuadrático en la expresión general.
Para ello, puede pedirles que se fijen en las
diferencias del nivel 2 para todas las sucesiones
de la sesión que tienen una expresión cuadrática.
Para
3
n
2
 + 2
y
3
n
2
 + 
n
 
–4
 
20 
28
 
8
 
20 
28
 
8
 
20 
28
 
8
8
Nivel 2
8
Nivel 2
4
n
2
 – 2
8
Nivel 2
4
n
2
 + 1
6
3
Sugerencia didáctica.
Escriba las siguientes
sucesiones en el pizarrón (de una en una) y
luego pase a un alumno para que encuentre los
cinco términos que siguen. Se espera que
utilicen las diferencias para encontrar el patrón,
pero también se puede hacer si se determina
primero la expresión algebraica.
3
,
12
,
27
,
48
, …
4
,
2
,
12
,
26
, …
11
, −
20
, −
35
, −
56
, …
Las expresiones para estas sucesiones son:
3
n
2
,
2
n
2
6
y −
3
n
2
8
.
Sugerencia didáctica.
Pida a los alumnos que
obtengan los primeros
5
términos de cada
sucesión y que verifiquen sus respuestas.