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7. Encuentra la ecuación de la parábola en sus formas ordinaria y general, además de todos
sus elementos, cuyo vértice está en el punto (3, -1) y su foco en
F
(3, -5)
#
Como el foco está abajo del vértice, la parábola abre hacia abajo, con condiciones:
Ecuación
Foco
Directriz
Lado recto
(
x
–
h
)
2
= 4
a
(
y
–
k
)
(
h
,
k
+
a
)
y
=
k
–
a
LR
=
ȁͶܽȁ
a) El parámetro: a =
ܸܨ
തതതത
= -5
–
(-1)
a
= -4
b) Su ecuación en forma ordinaria:
(
x
–
3)
2
= 4(-4)(
y
–
(-1))
(
x
–
3)
2
= -16(
y
+ 1)
c) Desarrollamos para la ecuación en su forma general:
x
2
–
6
x
+ 9 = -16
y
–
16
x
2
–
6
x
+ 9 + 16
y
+ 16 = 0
Reduciendo términos
x
2
–
6
x
+ 16
y
+ 25
= 0
d) Su directriz está en
y
=
k
–
a
y
= -1
–
(-4)
y
= 3
e) La longitud del lado recto
LR
=
ȁͶሺെͶሻȁ
LR
= 16
f) Coordenadas de los puntos extremos del lado recto.
Como el lado recto son 16, existen 8 puntos a la
Izquierda y 8 puntos a la derecha de él, por lo que
se suma y se resta 8 a la abscisa del foco
h,
obteniendo
h
+ 8 = 3 + 8 = 11
y
h
–
8 = 3
–
8 = -5,
y las coordenadas son (-5, -5) y (-5, 11)
8. Encuentra la ecuación de la parábola en su formas ordinaria dada la ecuación
y
2
+ 8
y
+ 20
x
+ 56 = 0, además de todos sus elementos.
1) Se separan los términos de
y
a la izquierda y los términos de
x
a la derecha.
y
2
+ 8
y
= -20
x
–
56
2) Se completa el trinomio cuadrado perfecto, dividiendo el término en
y
entre 2 y elevándolo al
cuadrado, sumando éste término en ambos lados de la ecuación.
y
2
+ 8
y
+
(
8
2
)
2
= -20
x
–
56 +
(
8
2
)
2
y
2
+ 8
y
+ (4)
2
= -20
x
–
56 + (4)
2
y
2
+ 8
y
+ 16 = -20
x
–
56 + 16
y
2
+ 8
y
+ 16 = -20
x
–
40
3) Se factorizan ambos lados de la ecuación, de modo que del lado izquierdo quede un binomio
al cuadrado y del lado derecho obtenemos el máximo común divisor de ambos términos,
quedando la ecuación de la forma (
y
–
k
)
2
= 4
a
(
x
–
h
)
(
y
+ 4)
2
= -20(
x
+ 2) Ésta es la ecuación en su forma ordinaria.
x
Las coordenadas del vértice. Como la ecuación está en la forma (
y
–
k)
2
= 4
a
(
x
–
h
)
k
= -4,
h
= -2. Por lo tanto, las coordenadas del vértice son (
h
,
k
)
(-2, -4)
x
El parámetro a.
Extraemos el factor común de la parte derecha, que es -20
y se iguala con 4A
4
a
= -20
a
=
ିଶ
ସ
a
= -5
Apéndice
325